← 返回彩色打印版集合

7.3 Using Tables to Find the Value of z Given a Probability

使用表格根据概率查找z值 - 知识点总结与练习题

核心知识点

1. 百分比点表格 / Percentage Points Table

核心概念 (Core Concept)：百分比点表格给出了对于各种 p = P(Z > z) 值的 z 值。

  • 当 p = P(Z > z) 时，表格给出对应的 z 值
  • 优先使用百分比点表格查找 z 值
  • 有时需要使用主表格进行查找

公式 (Formula)：p = P(Z > z)

2. 对称性质应用 / Symmetry Property Application

定义 (Definition)：利用正态分布的对称性质进行 z 值查找。

  • 如果 P(Z > 1.286) = 0.1，则 P(Z < -1.286) = 0.1
  • 如果 P(Z < a) > 0.5，则 a > 0
  • 如果 P(Z < a) < 0.5，则 a < 0
  • 如果 P(Z > a) < 0.5，则 a > 0
  • 如果 P(Z > a) > 0.5，则 a < 0

应用场景 (Application)：当给定概率值需要反查 z 值时使用。

3. 查找步骤 / Lookup Steps

步骤1：确定概率类型

  • P(Z < a) = p：直接在主表格中查找
  • P(Z > a) = p：使用百分比点表格或对称性质

步骤2：选择查找方法

  • 优先使用百分比点表格
  • 必要时使用主表格
  • 利用对称性质转换

步骤3：验证结果合理性

关键词汇表

百分比点表格 Percentage Points Table
反查 Inverse Lookup
临界值 Critical Value
分位数 Quantile
对称性质 Symmetry Property
累积概率 Cumulative Probability
标准分数 Standard Score
z值 z-value

例题解析

Example 1: 查找小于概率的z值

题目：求常数 a 使得 P(Z < a) = 0.7517

解答

解题步骤说明：

  • 步骤1：在主表格中查找概率值 0.7517
  • 步骤2：找到对应的 z 值
  • 步骤3：验证结果的合理性
  • 结论：a = 0.68

Example 2: 查找大于概率的z值

题目：求常数 a 使得 P(Z > a) = 0.100

解答

解题步骤说明：

  • 步骤1：P(Z > a) = 0.1，所以 P(Z < a) = 0.9
  • 步骤2：在主表格中查找概率值 0.9
  • 步骤3：找到对应的 z 值
  • 最终答案：a = 1.28

Example 3: 使用百分比点表格

题目：求常数 a 使得 P(Z > a) = 0.05

解答

解题步骤说明：

  • 步骤1：直接使用百分比点表格
  • 步骤2：查找 p = 0.05 对应的 z 值
  • 步骤3：验证结果
  • 最终答案：a = 1.645

Question 1

求常数 a 使得 P(Z < a) = 0.8413

a) 使用主表格查找

b) 验证结果的合理性

答题区域：

Question 2

求常数 a 使得 P(Z > a) = 0.1587

a) 转换为小于概率形式

b) 查找对应的 z 值

答题区域：

Question 3

求常数 a 使得 P(Z < a) = 0.025

a) 确定 a 的符号

b) 使用对称性质查找

c) 给出最终答案

答题区域：

Question 4

求常数 a 使得 P(Z > a) = 0.01

a) 使用百分比点表格

b) 验证结果

答题区域：

Question 5

求常数 a 使得 P(-a < Z < a) = 0.95

a) 利用对称性质

b) 计算 P(Z < a)

c) 查找对应的 z 值

答题区域：

答案与解析

Question 1 解析

a) 在主表格中查找概率值 0.8413，对应的 z 值为 1.00

b) 由于 0.8413 > 0.5，所以 a > 0，结果合理

答案：a = 1.00
Question 2 解析

a) P(Z > a) = 0.1587，所以 P(Z < a) = 1 - 0.1587 = 0.8413

b) 在主表格中查找概率值 0.8413，对应的 z 值为 1.00

答案：a = 1.00
Question 3 解析

a) 由于 0.025 < 0.5，所以 a < 0

b) P(Z < a) = 0.025，利用对称性质 P(Z < a) = P(Z > -a) = 0.025

c) 所以 P(Z < -a) = 0.975，查找得 -a = 1.96，因此 a = -1.96

答案：a = -1.96
Question 4 解析

a) 直接使用百分比点表格，查找 p = 0.01 对应的 z 值

b) 从表格中查得 z = 2.33

答案：a = 2.33
Question 5 解析

a) 利用对称性质：P(-a < Z < a) = 2P(Z < a) - 1 = 0.95

b) 所以 P(Z < a) = (0.95 + 1)/2 = 0.975

c) 在主表格中查找概率值 0.975，对应的 z 值为 1.96

答案：a = 1.96